Dans ce sujet de Centrale Supelec, on étudiait le théorème de Perron-Frobenius. Ce théorème a de nombreuses applications, dont l'une est au coeur du moteur de recherche Google. On note \(M>0\) si \(\forall i,j,\quad m_{ij}>0\) et \(\rho(A)=\max\{\abs{\lambda},…

L'exercice suivant permet d'appliquer et mieux comprendre l'intérêt de la transformation d'Abel. Par ailleurs c'est un exemple de série de fonctions qui converge uniformément sur une partie de \(\mathbb{C}\), mais pas nécessairement normalement. E…

Les théorèmes de comparaison font partie des théorèmes fondamentaux pour l'étude des suites / séries numériques: Théorème: Soit \(\sum_{n\in\mathbb{N}} u_n\) et \(\sum_{n\in\mathbb{N}} v_n\) deux séries à termes réels positifs (le théorème s'applique plus …

La transformation d'Abel est une technique à connaitre pour l'étude des séries numériques: \[ \begin{alignat*}{1} \sum_{k=0}^n u_k &= \sum_{k=0}^n 1\times u_k \\ &= \sum_{k=0}^n (k+1-k)u_k \\ &= \sum_{k=0}^n (k…

La définition des parties compactes d'un espace métrique est la suivante: Définition: Soit \(E\) un espace métrique. Une partie \(A\subset E\) est compacte si de tout recouvrement de \(A\) par des ouverts de \(E\) on peut extraire un recouvrement …