Séries de Dirichlet.
L'exercice suivant permet d'appliquer et mieux comprendre l'intérêt de la transformation d'Abel . Par ailleurs c'est un exemple de série de fonctions qui converge uniformément sur une partie de \(\mathbb{C}\), mais pas nécessairement normalement.
Exercice: Soit \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}\) et \((\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite strictement croissante de réels positifs. On suppose que la série \(\sum a_ne^{-\lambda_n z_0}\) converge.
Montrer que la série de fonctions \(\sum a_ne^{-\lambda_n z}\) converge uniformément sur l'ensemble \(\mathcal{D}=\{z\in \mathbb{C},\quad \abs{\mathrm{arg}(z-z_0)}\leqslant \theta_0\}\cup\{z_0\}\), où \(\theta_0\in ]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\).
Les séries de Dirichlet correspondent au cas \((\lambda_n)\) non bornée.
Ecrire \[ a_n e^{-\lambda_n z} = a_n e^{-\lambda_n z_0 } e^{-\lambda_n (z-z_0) } \]
Quel théorème permet de démontrer une convergence uniforme, quand on n'a pas la convergence normale, ni la convergence simple ?
On va appliquer le critère de Cauchy uniforme et s'intéresser à la quantité: \[\sum_{n=N}^{N+p} a_n e^{-\lambda_n z}\]
Faire une transformation d'Abel en "intégrant" \(a_n e^{-\lambda_n z_0}\) et en "dérivant" \(e^{-\lambda_n (z-z_0) }\).
On peut poser \(z-z_0=a+i\mkern1mu b\), ce qui permet de traduire facilement par une simple majoration l'appartenance à \(\mathcal{D}\setminus\{z_0\}\).
Majorer le module du paquet de Cauchy par une expression indépendante de \(p,a,b\), qui tend vers 0 quand \(N\to +\infty\).
Critère de Cauchy uniforme
Une suite de fonctions d'un ensemble \(X\) dans un ev normé \(E\) converge uniformément si et seulement si \[ \forall \epsilon>0,\exists n_0\in \mathbb{N},\forall p\geqslant n_0,\forall q\geqslant n_0,\forall x\in X,\quad \norm{f_p(x)-f_q(x)}\leqslant \epsilon \]
Critère de Cauchy uniforme - Cas des séries
Le critère se reformule directement ainsi dans le cas particulier des séries de fonctions:
\[ \forall \epsilon>0,\exists n_0\in \mathbb{N},\forall N\geqslant n_0,\forall p\in\mathbb{N},\forall x\in X,\quad \norm{\sum_{n=N}^{N+p} f_n(x)}\leqslant \epsilon \]
Remarque
Le choix de \(n_0\) dépend de \(\epsilon\), mais pas de \(p\) ni de \(x\).
Remarque
Le critère est utile lorsque qu'on veut montrer la convergence uniforme dans les cas où la convergence simple n'est pas supposée connue, et donc on n'a pas de fonction limite candidate.
Dans le cas des séries, il sert à montrer la convergence uniforme quand il n'y a pas convergence normale.
Pour faire le lien avec la série convergente, il est naturel d'écrire: \[ a_n e^{-\lambda_n z} = a_n e^{-\lambda_n z_0 } e^{-\lambda_n (z-z_0) } \]
Ensuite pour démontrer une convergence uniforme sans pouvoir supposer la convergence simple et sans connaitre la fonction limite, et sans pouvoir passer par la convergence normale, on n'a pas vraiment d'autres outils que le critère de Cauchy uniforme; On va donc s'intéresser à l'expression, pour \(z\in\mathcal{D}\): \[ \begin{alignat*}{1} \sum_{n=N}^{N+p} a_n e^{-\lambda_n z}&= \sum_{n=N}^{N+p} a_n e^{-\lambda_n z_0 } e^{-\lambda_n (z-z_0) } \end{alignat*}\]
On ne peut pas majorer directement cette somme car on n'a aucune information sur \(\sum \abs{a_n e^{-\lambda_n z_0}}\): il y a convergence, mais on ne peut pas supposer la convergence absolue de la série. Par contre pour utiliser l'hypothèse de convergence on est poussé à écrire \[ a_n e^{-\lambda_n z_0} = R_n - R_{n+1} \] où \[R_n = \sum_{k=n}^{+\infty} a_k e^{-\lambda_k z_0}\] et à faire une transformation d'Abel.
Posons \(z-z_0=a+i\mkern1mu b\), ce qui permet de traduire facilement par une simple majoration l'appartenance à \(\mathcal{D}\setminus\{z_0\}\) \[z\in \mathcal{D}\setminus\{z_0\} \Leftrightarrow a>0 \land \abs{\frac{b}{a}}\leqslant \abs{\tan{\theta_0}}\]
On fait la transformation d'Abel en "intégrant" \(a_n e^{-\lambda_n z_0}\) et en "dérivant" \(e^{-\lambda_n (z-z_0) }\); \(\forall z\in \mathcal{D}\), \[ \begin{alignat*}{1} \sum_{n=N}^{N+p} a_n e^{-\lambda_n z_0 } e^{-\lambda_n (z-z_0) } &= \sum_{n=N}^{N+p} (R_n-R_{n+1}) e^{-\lambda_n (z-z_0) } \\ &= \sum_{n=N}^{N+p} R_n e^{-\lambda_n (a+i\mkern1mu b) } - \sum_{n=N}^{N+p} R_{n+1} e^{-\lambda_n (a+i\mkern1mu b) } \\ &= \sum_{n=N}^{N+p} R_n e^{-\lambda_n (a+i\mkern1mu b) } - \sum_{n=N+1}^{N+p+1} R_{n} e^{-\lambda_{n-1} (a+i\mkern1mu b) } \\ &= R_N e^{-\lambda_N (a+i\mkern1mu b) } + \sum_{n=N+1}^{N+p} R_n (e^{-\lambda_n (a+i\mkern1mu b)}-e^{-\lambda_{n-1} (a+i\mkern1mu b) } ) - R_{N+p+1} e^{-\lambda_{N+p} (a+i\mkern1mu b) }\\ \end{alignat*} \]
Cela a un sens maintenant de prendre le module et de majorer terme à terme; il faut majorer par une expression indépendante de \(p,a,b\), qui tend vers 0 quand \(N\to +\infty\): \[ \begin{alignat*}{1} \abs{ \sum_{n=N}^{N+p} a_n e^{-\lambda_n z_0 } e^{-\lambda_n (z-z_0) }} &\leqslant \abs{R_N} e^{-\lambda_N a} + \sum_{n=N+1}^{N+p} \abs{R_n}\abs{ e^{-\lambda_n (a+i\mkern1mu b)}-e^{-\lambda_{n-1} (a+i\mkern1mu b) } } +\abs{ R_{N+p+1}} e^{-\lambda_{N+p} a } \\ \end{alignat*} \]
Soit \(\epsilon>0\) et \(n_0\in\mathbb{N}\) tel que \(\forall n\geqslant n_0,\quad \abs{R_n}\leqslant \epsilon\).
Alors, \(\forall N\geqslant n_0\), \[ \begin{alignat*}{1} \abs{ \sum_{n=N}^{N+p} a_n e^{-\lambda_n z_0 } e^{-\lambda_n (z-z_0) }} &\leqslant \epsilon e^{-\lambda_N a} + \epsilon\sum_{n=N+1}^{N+p} \abs{ e^{-\lambda_n (a+i\mkern1mu b)}-e^{-\lambda_{n-1} (a+i\mkern1mu b) } } +\epsilon e^{-\lambda_{N+p} a } \\ \end{alignat*} \]
Comme la suite \((\lambda_n)\) est positive et \(a>0\) on a: \[ \begin{alignat*}{1} \abs{ \sum_{n=N}^{N+p} a_n e^{-\lambda_n z_0 } e^{-\lambda_n (z-z_0) }} &\leqslant 2\epsilon + \epsilon\sum_{n=N+1}^{N+p} \abs{ e^{-\lambda_n (a+i\mkern1mu b)}-e^{-\lambda_{n-1} (a+i\mkern1mu b) } } \\ \end{alignat*} \]
Pour majorer la somme, on compare à une intégrale; on remarque que: \[ \begin{alignat*}{1} e^{-\lambda_n (a+i\mkern1mu b)}-e^{-\lambda_{n-1} (a+i\mkern1mu b) }&= -(a+i\mkern1mu b)\int_{\lambda_{n-1}}^{\lambda_n}e^{-t(a+i\mkern1mu b)}\mathrm{d}t \\ \end{alignat*} \]
Et donc, car \((\lambda_n)\) croissante, \[ \begin{alignat*}{1} \abs{e^{-\lambda_n (a+i\mkern1mu b)}-e^{-\lambda_{n-1} (a+i\mkern1mu b) }}&\leqslant \sqrt{a^2+b^2}\int_{\lambda_{n-1}}^{\lambda_n}\abs{e^{-t(a+i\mkern1mu b)}}\mathrm{d}t \\ &= \sqrt{a^2+b^2}\int_{\lambda_{n-1}}^{\lambda_n}e^{-ta}\mathrm{d}t \\ \end{alignat*} \] Noter que l'ordre des bornes va être essentiel pour appliquer la relation de Chasles.
Ensuite, \[ \begin{alignat*}{1} \sum_{n=N+1}^{N+p} \abs{ e^{-\lambda_n (a+i\mkern1mu b)}-e^{-\lambda_{n-1} (a+i\mkern1mu b) } } &\leqslant \sqrt{a^2+b^2} \sum_{n=N+1}^{N+p}\int_{\lambda_{n-1}}^{\lambda_n}e^{-ta}\mathrm{d}t \\ &= \sqrt{a^2+b^2} \int_{\lambda_{N}}^{\lambda_{N+p}}e^{-ta}\mathrm{d}t \\ &\leqslant \sqrt{a^2+b^2} \int_{\lambda_{N}}^{+\infty}e^{-ta}\mathrm{d}t \\ &= \sqrt{a^2+b^2} \frac{1}{a}e^{-\lambda_N a} \\ &= \sqrt{1+(\frac{b}{a})^2} e^{-\lambda_N a} \\ &\leqslant \sqrt{1+(\tan{\theta_0})^2} \\ &= \frac{1}{\cos{\theta_0}} \\ \end{alignat*} \] qui est une expression indépendante de \(a\), \(b\) et \(p\).
On a montré que, \(\forall N\geqslant n_0,\forall p\in\mathbb{N},\forall z\in\mathcal{D}\setminus\{z_0\}\), \[ \begin{alignat*}{1} \abs{ \sum_{n=N}^{N+p} a_n e^{-\lambda_n z_0 } e^{-\lambda_n (z-z_0) }} &\leqslant \epsilon(2+\frac{1}{\cos{\theta_0}}) \end{alignat*} \] majoration toujours valable pour \(z=z_0\).
La série de fonctions \(\sum a_ne^{-\lambda_n z}\) converge uniformément sur l'ensemble \(\mathcal{D}\).