Concours X ENS: mathématiques A MP
Un sujet d'algèbre difficile, exigeant et très long, qui étudie le corps des quaternions \(\mathbb{H}\): représentation matricielle, descriptions des endomorphismes orthogonaux directs, des automorphismes.
Beaucoup de sujets qui sont abordés plus rarement dans les autres concours: algèbre de sup, groupes, topologie.
On démontre aussi que toute \(\mathbb{R}\) algèbre algébrique sans diviseur de 0 est isomorphe à \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\) ou \(\mathbb{H}\). Cela montre l'importance de ce corps.
Un élément de \(\mathbb{H}\simeq \mathbb{R}^4\), s'écrit \[ Q=x + yi + z j+t k \] où \[\begin{array}{l} i^2=j^2=k^2=-1\\ ij=-ij=k\\ jk=-jk=i\\ ki=-ik=j \end{array} \]
De la même manière que les nombres complexes de module 1 représentent une rotation dans \(\mathbb{R}^2\), les quaternions unitaires ont pour principale utilisation la représentation des rotations en 3 dimensions ( les éléments de \(SO(\mathbb{R}^3)\)).
Comme on le démontre dans le problème, la rotation d'un angle \(\theta\) autour du vecteur \(n=\begin{bmatrix}n_x&n_y&n_z\end{bmatrix}\) est représentée par le quaternion: \[ \begin{array}{rl} Q=\begin{bmatrix} \cos \frac{\theta}{2}\\ n_x\sin \frac{\theta}{2}\\ n_y\sin \frac{\theta}{2}\\ n_z\sin \frac{\theta}{2}\\ \end{bmatrix} % &\begin{array}{l} \left.\vphantom{\begin{bmatrix} \cos \frac{\theta}{2}\end{bmatrix}}\right\}\text{ partie réelle }q_0 \\ \left. \vphantom{\begin{bmatrix} n_x\sin \frac{\theta}{2}\\ n_y\sin \frac{\theta}{2}\\ n_z\sin \frac{\theta}{2}\\ \end{bmatrix} }\right\}\text{partie imaginaire }q \\ \end{array} \\ \end{array} \]
Le produit dans \(\mathbb{H}\) a une interprétation géométrique dans \(\mathbb{R}^3\): \[ \begin{array}{rl} XY &=\begin{bmatrix} x_0y_0 -x^Ty\\ \vphantom{\begin{bmatrix} n_x\sin \frac{\theta}{2}\\ n_y\sin \frac{\theta}{2}\\ n_z\sin \frac{\theta}{2}\\ \end{bmatrix} } x_0y+y_0x + x\times y \end{bmatrix} \end{array} \]
Au cours du sujet on démontre aussi:
Théorème: Soit \(\lVert.\rVert\) une norme sur le \(\mathbb{R}\) espace vectoriel \(\mathbb{R}^2\). Si \[\begin{array}{rCl} \forall x,y\in \mathbb{R}^2,\quad \lVert x+y\rVert^2+\lVert x-y\rVert^2 & \geqslant&4 \\ \end{array}\] alors \(\lVert.\rVert\) provient d'un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^2\).
On peut arriver à la même conclusion, beaucoup plus facilement, avec l'hypothèse suivante qui est plus forte, l'identité du parallélogramme, mais en dimension quelconque:
Proposition: Soit \(\lVert.\rVert\) une norme sur un espace \(\mathbb{R}\) vectoriel \(E\). Si \[\begin{array}{rCl} \forall x,y\in E,\quad \lVert x+y\rVert^2+\lVert x-y\rVert^2 & =&2(\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2) \\ \end{array} \] alors \(\lVert.\rVert\) provient d'un produit scalaire.
Voici un exercice d'oral X ENS qui va encore plus loin:
Proposition: Soit \(\lVert.\rVert\) une norme sur un espace \(\mathbb{R}\) vectoriel \(E\). Les propriétés suivantes sont équivalentes:
\((\mathrm{i})\) La norme \(\lVert.\rVert\) provient d'un produit scalaire.
\((\mathrm{ii})\) \[ \forall x,y\in E,\quad \lVert x+y\rVert^2+\lVert x-y\rVert^2 =2(\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2) \\ \]
\((\mathrm{iii})\) pour tout \(x,y\in E\), l'application \(t\mapsto \lVert x+ty\rVert^2\) est un polynôme de degré inférieur ou égal à deux.
\((\mathrm{iv})\) la restriction de \(\lVert.\rVert\) à tout plan inclus dans \(E\) provient d'un produit scalaire.
\((\mathrm{v})\) \[\forall x\in E,\quad H(x)=\{y\in E,\lVert x+y\rVert^2=\lVert x\rVert^2+\lVert y\rVert^2\}\] est un ensemble stable par homothétie.
\((\mathrm{ii})\Rightarrow (\mathrm{i})\)
Trouver une fonction candidate \(\varphi\).
Montrer \(2(\varphi(x,z)+\varphi(x,z))=\varphi(x+y,2z)\).
Montrer \(\varphi(x+y,2z)=2\varphi(x+y,z)\).
Montrer \(\varphi(\frac{p}{q}x,y)=\frac{p}{q}\varphi(x,y)\).
Conclure.
\((\mathrm{v})\Rightarrow (\mathrm{ii})\)
L'ensemble des matrices de \(GL_2(\mathbb{R})\) à déterminant >0 est connexe (cf. dem ).
Considérer l'ensembles des bases de \(\mathrm{vect}(x,y)\), et montrer qu'il y en a au moins une qui vérifie: \[ \lVert e_1+e_2\rVert^2=\lVert e_1\rVert^2+\lVert e_2\rVert^2 \]
Conclure en utilisant l'hypothèse de \((\mathrm{v})\).
Un corrigé de l'épreuve de maths A posée le 17 Avril en MP concours X ENS 2023:
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