Concours Centrale Supelec: mathématiques 2 MP
Un sujet assez intérressant, cohérent, mêlant analyse et probabilité.
Il y avait quelques passages assez difficiles:
- Les questions 22 à 25, qui permettaient de démontrer la convergence uniforme d'une suite de fonctions vers la densité de la loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\), \(\varphi(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)
- la question 31 permettait de démontrer un cas particulier du théorème central limite. \[\mathrm{P}(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n}}\geqslant u )\underset{n\to+\infty}{\rightarrow}\int_u^{+\infty} \varphi(t)\mathrm{d} t\] Les \(X_i\) sont ici des VA indépendantes qui prennent pour valeur -1 ou 1 avec la probabilité \(\frac{1}{2}\).
- La question 33 était une application qui permettait de démontrer un critère de tension.
On pouvait ainsi observer que la loi normale est une limite de suite de lois binomiales, ou encore que la loi binomiale est une sorte de discrétisation de la loi normale.
En fait le théorème central limite est beaucoup plus puissant, puisque le résultat démontré dans la question 31 s'étend à toute suite de VA indépendantes centrées, de même loi, possédant une variance \(\sigma^2_X\). On dit que la VA \[\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sqrt{n}}\] converge en loi vers la loi normale \(\mathcal{N}(0,\sigma^2_X)\).
Un corrigé de l'épreuve de maths 2 posée le 12 Mai en MP concours Centrale Supelec 2023:
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