Concours X ENS 24: mathématiques A MP

Alors que la saison des concours bat son plein, on s'intéresse aujourd'hui au concours de la prestigieuse X, avec ce sujet A section MP commun au concours de l'école Normale.

L'algèbre linéaire est vraiment réduite à la portion congrue dans ce problème, qui est finalement plus un sujet d'analyse avec des séries et des développements asymptotiques. On aborde le groupe symmétrique \(\mathfrak{S}_n\), les dénombrements et de l'arithmétique.

Le sujet est difficile bien sûr, mais faisable car très bien guidé.

Il y a deux parties qui sont totalement indépendantes, mais le sujet met intelligemment en regard deux beaux résultats qui présentent certaines similitudes, de même que les démonstrations.

Dans la première partie, on se propose d'estimer le nombre de cycles qui entrent dans la décomposition d'une permutation en cycles à supports disjoints. Les points fixes sont comptés comme des cycles de longueur 1.

Théorème: Soit \(X_n\) la variable aléatoire qui compte le nombre de cycles intervenant dans la décomposition d'une permutation \(\sigma\in\mathfrak{S}_n\) choisie au hasard. \[\begin{array}{rl} \exists C>0\quad \forall \epsilon>0\quad\forall n\geqslant 2,\quad P(\abs{X_n-\ln n}\geqslant \epsilon\ln n) & \leqslant \frac{C}{\epsilon^2\ln n}\\ \end{array}\]

En particulier la VA \(\frac{X_n}{\ln n}\) converge en probabilité vers 1.

Dans le deuxième partie, on passe à la décomposition d'en entier en facteurs premiers, et on compte les facteurs premiers intervenant dans la décomposition.

Théorème: \[\begin{array}{rCl} \omega(n) = \#\{p\text{ premier},\quad p\mid n \} & \underset{n\to+\infty}{\sim}& \ln(\ln n)\\ \end{array}\] sauf sur un ensemble \(\mathscr{S}\) de densité nulle.

Un corrigé de l'épreuve de maths A posée le 15 Avril en MP concours X ENS 2024:

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