Concours Centrale Supelec: mathématiques 1 MP

Fri May 26, 2023, par Pierre-Paul T. Vues   133

Un sujet d'algèbre, très long, sur les polynômes et le calcul ombral.

Au coeur de ce formalisme, on a la dérivation de Pincherle.

On introduit l'opérateur \(\mathbf{x}\) qui est un endomorphisme de polynômes:\[ \begin{alignat*}{1} \mathbf{x}:\mathbb{K}[X]&\to\mathbb{K}[X]\\ p&\mapsto Xp \end{alignat*} \]

On introduit alors la dérivation de Pincherle, qui est un endomorphisme d'endomorphismes de polynômes: \begin{alignat*}{1} \mathrm{End}(\mathbb{K}[X])&\to\mathrm{End}(\mathbb{K}[X])\\ T&\mapsto T'=T\mathbf{x}-\mathbf{x}T \end{alignat*}

On retrouve des propriétés qui nous sont familières, comme: \[(\sum_{k=0}^{+\infty} a_k D^k)'=\sum_{k=1}^{+\infty} ka_k D^{k-1}\] \[(ST)'=S'T+ST'\]

On étudie particulièrement les endomorphismes shift invariants: \[ \begin{alignat*}{1} E_a:\mathbb{K}[X]&\to\mathbb{K}[X]\\ p&\mapsto p(X+a) \end{alignat*} \] \[ T \text{ shift invariant }\Leftrightarrow \forall a,\quad TE_a=E_aT \]

Un corrigé de l'épreuve de maths 1 posée le 9 Mai en MP concours Centrale Supelec 2023:

Retrouver le sujet:

Pour ceux qui veulent appronfondir ce sujet, l'article de référence suivant est en accés libre (consulté le 26 Mai 2023):