Concours Mines-Ponts: mathématiques 1 MP
Un sujet analyse-algèbre qui étudie les conditions de stabilité de l'équation différentielle suivante \[ \left\{ \begin{array}{ll} y'=\varphi(y)& \\ y(0)=x_0& \end{array} \right. \] ou \(\varphi\) est une application de \(\mathbb{R}^n\) dans \(\mathbb{R}^n\) de classe \(C^1\).
La première partie permet l'étude du système linéarisé autour de l'état d'équilibre \(\varphi(0)=0\): \[ \left\{ \begin{array}{ll} y'=\mathrm{d}\varphi_0(y)& \\ y(0)=x_0& \end{array} \right. \] dont la solution est bien connue: \begin{alignat*}{1} \mathbb{R}^{+}&\to\mathbb{R}^{n}\\ t&\mapsto e^{t\mathrm{d}\varphi_0}x_0 \end{alignat*}
La dernière partie utilise l'analyse pour appliquer les résultats obtenus pour l'équation différentielle linéaire à l'étude de la solution du problème général.
Les méthodes d'analyse de Lyapunov sont importantes pour l'étude des systèmes non linéaires en robotique par example. Il est rarement possible d'obtenir une solution explicite pour une équation différentielle non linéaire, et le monde réel est rarement linéaire; on cherchera plutôt à prouver des propriétés de stabilité asymptotique.
Un corrigé de l'épreuve de maths 1 posée le 2 Mai en MP concours Mines-Ponts 2023:
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