Concours Mines-Ponts MP 25: mathématiques 2.
J'ai trouvé le sujet bien fait, la progression est bien pensée et les résultats obtenus intérressants.
Tout commence avec la définition suivante: pour \(p\in\mathbb{R}[X]\), un polynôme scindé sur \(\mathbb{R}\), \[ \begin{alignat*}{1} p&=\sum_{i=0}^n a_iX^i\ \end{alignat*} \] on définit le polynôme \(p_0\) en reversant l'ordre des coefficients de la manière suivante: \[ \begin{alignat*}{1} p_0&=\sum_{i=0}^n a_{n-i}X^i\ \end{alignat*} \]
On introduit la matrice \(S\) désormais bien connue
On définit la matrice symétrique: \[ \begin{alignat*}{1} J(p)&= p_0(S)^Tp_0(S) - p(S)^Tp(S) \end{alignat*} \]
Au cœur du problème réside aussi la notion de racines stables: \[ \begin{alignat*}{1} \alpha\text{ racine stable de }p&\Leftrightarrow \alpha\neq0\land \alpha\text{ est racine de }p\land \frac{1}{\alpha}\text{ est racine de }p. \end{alignat*} \]
On définit enfin \(\pi(M)\) le nombre de valeurs propres réelles strictement positives de \(M\) comptées avec leur multiplicité, et \(\sigma(p)\) le nombre de racines réelles de \(p\) appartenant à l’intervalle \(]-1; 1[\), comptées avec leur multiplicité.
Le premier résultat remarquable est obtenu à la question 18 ( critère de Schur-Cohn ): \[ \begin{alignat*}{1} J(p)\in GL_n(\mathbb{R})&\Leftrightarrow p\text{ ne possède aucune racine stable et }\sigma(p)=\pi(J(p)) \end{alignat*} \]
Ensuite, dans le cas où toutes les racines de \(p\) sont stables et de multiplicité 1, on obtient \[ \begin{alignat*}{1} \sigma(p)&= n-1-\pi(J(p')) \end{alignat*} \]
Enfin dans la dernière partie, on construit une méthode pour compter les racines de \(p\) dans \(]-1,1[\) dans le cas général.
Correction du sujet Maths 2 MP posé le 24 Avril au concours Mines-Ponts 2025:
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