Composantes connexes de \(GL_n(\mathbb{R})\)
Dans sur les normes euclidiennes, on avait besoin du fait que l'ensemble des matrices à déterminant \(>0\) est connexe. C'est l'occasion de rappeller la démonstration:
Lemme: Soit \(GL_n^+(\mathbb{R})=\{M\in M_n(\mathbb{R}),\det M >0\}\) et \(GL_n^-(\mathbb{R})=\{M\in M_n(\mathbb{R}),\det M <0\}\).
\(GL_n^+(\mathbb{R})\) et \(GL_n^-(\mathbb{R})\) sont connexes.
Trouver un chemin qui va de \(I_n\) à \(T_{ij}(\lambda)=\)
Décomposer une matrice inversible à l'aide de la méthode du pivot de Gauss.
Conclure.
Déjà on remarque que \(GL_n(\mathbb{R})\) n'est pas connexe, car \(\det(.)\) est une application continue, et \(\det(GL_n(\mathbb{R}))=\mathbb{R}^*\) qui n'est pas un connexe de \(\mathbb{R}\).
On considère les matrices:
\(T_{ij}(\lambda) = I_n + \lambda E_{ij}=\)
où \(\lambda\in\mathbb{R}\)
et
\(
D_{i}(\lambda)=I_n + (-1+\lambda)E_{ii}
=\)
où \(\lambda\in\mathbb{R}^*\).
Multiplier à gauche par \(T_{ij}(\lambda)\) revient à l'opération sur les lignes: \[ L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j \] La multiplication à droite donne l'opération correspondante sur les colonnes.
Multiplier à gauche par \(D_{ij}(\lambda)\) revient à l'opération sur les lignes: \[ L_i\leftarrow \lambda L_i \] La multiplication à droite donne l'opération correspondante sur les colonnes.
On peut échanger deux lignes en multipliant à gauche par: \[ T_{ij}(-1)T_{ji}(1)T_{ij}(-1) \]
Décomposition d'une matrice de \(GL_n^+(\mathbb{R})\) en produit de matrices de transvection.
Soit \(M\in GL^+_n(\mathbb{R})\). Soit \(k\in\lBrack 1,n\rBrack\) tel que \(m_{k1}\neq0\).
On utilise la méthode du pivot de Gauss. On multiplie par à droite par \(T_{ik}(\frac{m_{11}-1}{m_{k1}})\) de manière à avoir un 1 en haut à gauche. Puis pour \(l\in\lBrack 2,n\rBrack\), on multiplie par \(T_{l1}(-m_{l1})\) pour placer des 0 sur toute la première colonne
On multiplie ensuite à droite par \(T_{k1}(-m_{1l})\) pour annuler la première ligne sauf le pivot.
On peut donc trouver des matrices \(T\) tel que:
\[T_nT_{n-1}\dots T_1MT'_1\dots T'_{n-1}=\]
On réitère jusqu’à obtenir une matrice:
\(\prod_i T_i\times M \times\prod_j T'_j=\)
\(=D_n(\delta)\)
où \(\delta=\det M>0\)
Comme les matrices \(T_{ij}\) sont inversibles (\(T_{ij}(\lambda)^{-1}=T_{ij}(-\lambda)\)), \(M\) se décompose sous la forme: \[M=\prod_i T_i\times D_n(\delta)\times\prod_j T_j\]
Chemin continu de \(I_n\) à une matrice de \(GL_n^+(\mathbb{R})\).
Maintenant on remarque que la matrice suivante, de determinant 1, procure un chemin continu de \(I_n\) vers \(T_{ij}(\lambda)\):
La matrice suivante \(D_n(1-t+t\delta)\) permet de passer continuement de \(I_n\) à \(D_n(\lambda)\):
On a \(\det(D_n(1-t+t\delta))\in |1,\delta|\subset \mathbb{R}^{+*}\).
Ainsi , vu la décomposition obtenue, on peut construire en multipliant les matrices ci-dessus un chemin continu de \(I_n\) à \(M\), inclus dans \(GL_n^+(\mathbb{R})\).
Cas général.
Soit \(M_1,M_2\in GL_n(\mathbb{R})\), deux matrices dont les déterminants sont de même signe.
La matrice \(M_2M_1^{-1}\) est donc dans \(GL_n^+(\mathbb{R})\) et on peut trouver une matrice \(M(t)\) telle que:
- \(t\mapsto M(t)\) continue.
- \(\forall t\in[0,1],\quad M(t)\in GL_n^+(\mathbb{R})\).
- \(M(0)=I_n\) et \(M(1)=M_2M_1^{-1}\)
On voit alors que \(t\mapsto M(t)M_1\) est un chemin continu de \(M_1\) vers \(M_2\).