Concours Mines-Ponts: mathématiques 2 PC
Le sujet portait sur les chaînes de Markov. On modélisait un système discret, avec le nombre de transitions dans l'intervalle \([0,t]\) qui suivait une loi de Poisson. Pas mal de calculs de sommes un peu délicats, mais le sujet paraissait un peu plus simple que le 1er, en tout cas plus classique.
On retrouvait les matrices symétriques positives, sous la forme des endomorphismes autoadjoints positifs, ce qui était un peu redondant avec le sujet 1.
La question 18 était le résultat fondamental de la dernière partie, et permettait de déterminer dans la question 21 que le la loi de probabilité du système se stabilisait après un temps suffisamment long: \[\forall j\in \lBrack 1,N\rBrack,\quad \lim_{t\to+\infty} H_t[1,j] = \pi(j) \], où
- \(H_t[1,j]\) est la probabilité que le système soit dans l'état \(j\) à l'instant \(t\)
- \(\pi\) est la probabilité invariante de la matrice de transition \(K\) (vecteur propre à gauche associé à la valeur propre 1).
Un corrigé complet de l'épreuve de maths 2 posée le 3 Mai en PC concours Mines-Ponts 2023:
Retrouver le sujet: