Compacts: propriété de Borel-Lebesgue.
La définition des parties compactes d'un espace métrique est la suivante:
Définition: Soit \(E\) un espace métrique. Une partie \(A\subset E\) est compacte si de tout recouvrement de \(A\) par des ouverts de \(E\) on peut extraire un recouvrement fini, i.e.
si \[A\subset \bigcup_{i\in \mathcal{I}} O_i\] avec les \(O_i\) ouverts, alors il existe \(\mathcal{J}\subset \mathcal{I}\) finie tel que \[A\subset \bigcup_{i\in\mathcal{J}} O_i\]
En pratique, dans les exercices, on utilise plus souvent la caractérisation séquentielle équivalente de Bolzano-Weierstrass :
Propriété: Soit \(E\) un espace métrique. \(A\subset E\) est compacte si et seulement si de toute suite d'éléments de \(A\) on peut extraire une suite convergente dans \(A\).
On utilise aussi fréquemment la caractérisation des parties compactes en dimension finie:
Propriété: Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\) espace vectoriel de dimension finie. Les parties compactes de \(E\) sont les fermés bornés.
Je trouve l'exercice suivant intéressant car justement il fait intervenir la définition de la compacité:
Exercice: Soit \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction qui admet un tout point une limite à gauche et une limite à droite. Montrer que les points de discontinuités de \(f\) sont au plus dénombrables
Montrer que le nombre de discontinuités de \(f\) sur un segment quelconque \(I\subset\mathbb{R}\) est au plus dénombrable.
On peut quantifier la discontinuité en \(x\) par \[d(x)=\lvert l_x^+-f(x) \rvert + \lvert l_x^--f(x) \rvert\] où \(l_x^+=\lim_{\underset{t>x}{t\to x}} f(t)\) et \(l_x^-=\lim_{\underset{t < x}{t\to x}} f(t)\).
Quel est la valeur maximum de la discontinuité \(d(t)\) pour \(t\in ]x-\alpha_x,x+\alpha_x[\setminus \{x\}\)?
\[I\subset \bigcup_{x\in I}]x-\alpha_x,x+\alpha_x[\]
On utilise les notations suivantes: \[l_x^+=\lim_{\underset{t>x}{t\to x}} f(t)\] \[l_x^-=\lim_{\underset{t < x}{t\to x}} f(t)\] \[d(x)=\lvert l_x^+-f(x) \rvert + \lvert l_x^--f(x) \rvert\]
On rappelle que: \[ \begin{alignat*}{1} f\text{ est continue en }x &\Leftrightarrow l_x^+=f(x) \land l_x^-=f(x) \\ \end{alignat*}\] et donc \[ \begin{alignat*}{1} f\text{ n'est pas continue en }x &\Leftrightarrow l_x^+\neq f(x) \lor l_x^-\neq f(x) \\ &\Leftrightarrow \lvert l_x^+- f(x) \rvert >0 \lor \lvert l_x^- - f(x)\rvert >0 \\ &\Leftrightarrow d(x) =\lvert l_x^+- f(x) \rvert + \lvert l_x^- - f(x)\rvert >0 \\ \end{alignat*}\]
Ensemble des points de discontinuité de \(f\) sur un compact.
Soit \(I\) un segment de \(\mathbb{R}\). \(I\) est un compact car fermé borné en dimension finie.
Soit \(x\in I\). On utilise l'hypothèse selon laquelle f admet une limite réelle à gauche et à droite:
Soit \(\epsilon>0\). \[ \begin{alignat*}{1} \exists \alpha_x>0\quad \forall t\in\mathbb{R},\quad &t\in ]x-\alpha_x,x[\Rightarrow \lvert f(t)-l_x^-\rvert \leqslant \epsilon \\ &t\in ]x,x+\alpha_x[\Rightarrow \lvert f(t)-l_x^+\rvert \leqslant \epsilon \\ \end{alignat*}\]
Par passage à la limite on obtient aussi: \[ \begin{alignat*}{1} \forall t\in ]x-\alpha_x,x[,\quad &l_t^-.l_t^+ \in \overline{[l_x^--\epsilon,l_x^++\epsilon]} = [l_x^--\epsilon,l_x^++\epsilon] \\ \end{alignat*} \] et donc \[ \begin{alignat*}{1} \forall t\in ]x-\alpha_x,x[,\quad d(t)=\lvert l_t^+- f(t) \rvert + \lvert l_t^- - f(t)\rvert&= \lvert l_t^+ -l_x^- + l_x^- - f(t) \rvert + \lvert l_t^- -l_x^- + l_x^- - f(t)\rvert \\ &\leqslant \lvert l_t^+ -l_x^-\rvert + \lvert l_x^- - f(t) \rvert + \lvert l_t^- -l_x^-\rvert + \lvert l_x^- - f(t)\rvert \\ &\leqslant 4\epsilon \end{alignat*} \]
de même, \[ \begin{alignat*}{1} \forall t\in ]x,x+\alpha_x[,\quad d(t)&\leqslant 4\epsilon \end{alignat*} \]
Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On choisit \(\epsilon=\frac{1}{4n}\). On peut recouvrir \(I\) par les ouverts précédents: \[ I \subset \bigcup_{x\in I} ]x-\alpha_x,x+\alpha_x[ \]
On extrait de ces intervalles un recouvrement fini: \[ I \subset \bigcup_{i=1}^p ]x_i-\alpha_{x_i},x_i+\alpha_{x_i}[ \]
D'après ce qui précède, les discontinuités \(d(x)>\frac{1}{n}\) ne peuvent se trouver qu'en les centres de ces intervalles ouverts; il y en a donc un nombre fini, au plus \(p\).
On a : \begin{alignat*}{1} f\text{ n'est pas continue en }x \in I&\Leftrightarrow d(x)\in\mathbb{R}^{+*}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}^*}]\frac{1}{n},+\infty[ \end{alignat*} ce qui montre bien que l'ensemble des discontinuités de \(f\) sur \(I\) est au plus dénombrable en tant que réunion dénombrable d'ensembles finis.
Ensemble des points de discontinuité de \(f\) sur \(\mathbb{R}\)
On peut conclure que l'ensemble des discontinuités de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) entier est au plus dénombrable puisque \(\mathbb{R}\) est une réunion dénombrable de segments, par exemple \(\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}[n,n+1]\), et une réunion dénombrable d'ensembles au plus dénombrables est au plus dénombrable.