Théorèmes de comparaison.
Les théorèmes de comparaison font partie des théorèmes fondamentaux pour l'étude des suites / séries numériques:
Théorème: Soit \(\sum_{n\in\mathbb{N}} u_n\) et \(\sum_{n\in\mathbb{N}} v_n\) deux séries à termes réels positifs (le théorème s'applique plus généralement aux séries à termes de signes constant à partir d'un certain rang).
i.
On suppose: \[\exists n_0\in\mathbb{N}\quad \forall n\geqslant n_0,\quad u_n\leqslant v_n\] Alors on a: \[\sum_{n\in\mathbb{N}} v_n \text{ converge } \Rightarrow \sum_{n\in\mathbb{N}} u_n \text{ converge}\]
ii.
On suppose: \[u_n\underset{}{=}o(v_n)\] Alors on a: \[\sum_{n\in\mathbb{N}} v_n \text{ converge } \Rightarrow \sum_{n\in\mathbb{N}} u_n \text{ converge}\]
iii.
On suppose: \[u_n \sim v_n\] Alors on a: \[\sum_{n\in\mathbb{N}} v_n \text{ converge } \Leftrightarrow \sum_{n\in\mathbb{N}} u_n \text{ converge}\]
De plus dans le cas de la convergence on a équivalence des restes: \[\sum_{k=n}^{+\infty}u_k \sim \sum_{k=n}^{+\infty}v_k\] Dans le cas de divergence, on a équivalence des sommes partielles: \[\sum_{k=0}^{n}u_k \sim \sum_{k=0}^{n}v_k\]
Définition - rappels
Il est conseillé de bien garder en tête toutes les formulations pour l'équivalence de deux suites: \(u_n\sim v_n\) ssi \(u_n-v_n=o(v_n)\)ssi quelque soit \(\epsilon>0\) (aussi petit soit-il), il existe un entier \(n_0\) tel que \(\forall n\geqslant n_0\) \[ \begin{alignat*}{1} &\abs{u_n-v_n} \leqslant \epsilon \abs{v_n} \\ &\Leftrightarrow\quad (1-\epsilon) v_n \leqslant u_n \leqslant (1+\epsilon) v_n \qquad(\text{ si }v_n\geqslant0)\\ &\Leftrightarrow\quad 1-\epsilon \leqslant \frac{u_n}{v_n} \leqslant 1+\epsilon \\ &\Leftrightarrow\quad \abs{\frac{u_n}{v_n}-1} \leqslant \epsilon \\ \end{alignat*} \] les deux dernières formulation étant valable quand \(v_n\) ne s'annule pas pour \(n\) grand, et équivalent à \(\frac{u_n}{v_n}\to 1\).
Bien sûr, on peut écrire les mêmes inégalités en inversant les rôles de \(u_n\) et \(v_n\).
Remarque
Les propriétés en question étant des propriétés asymptotiques, l'adaptation de la dém au cas \(u_n,v_n\geqslant 0\) à partir d'un certain rang \(N\) est directe, il suffit de choisir les indices \(n_0,n_1\) supérieurs à \(N\).
Le cas \(u_n,v_n\leqslant 0\) se traite en considérant \(\sum_{n\in\mathbb{N}}-u_n\) et en remplaçant l'hypothèse i par \(v_n\leqslant u_n\).
i.
On suppose que la série \(\sum_{n\in\mathbb{N}}v_n\) converge. Soit \(n\geqslant n_0\). \[ \begin{alignat*}{1} \sum_{k=0}^n u_k &= \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k + \sum_{k=n_0}^n u_k \\ &\leqslant \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k + \sum_{k=n_0}^n v_k \\ &\leqslant \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k + \sum_{k=0}^n v_k \\ &\leqslant \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k + \sum_{k=0}^{+\infty} v_k \\ \end{alignat*} \] La majoration reste valable pour \(n < n_0\).
Cela montre que la suite des sommes partielles \((S_n)\) est majorée. Comme \(u_n\geqslant0\), la suite \((S_n)\) est aussi croissante donc elle converge, i.e. la série \(\sum_{n\in\mathbb{N}}u_n\) converge.
ii.
Soit \(\epsilon=1\). Comme \(u_n\underset{}{=}o(v_n)\), \[\exists n_0\in\mathbb{N}\quad \forall n\geqslant n_0,\quad u_n=\abs{u_n}\leqslant \epsilon\abs{v_n}=v_n\] ce qui ramène au cas précédent.
iii.
On suppose que la série \(\sum_{n\in\mathbb{N}}v_n\) converge.
Soit \(\epsilon>0\). \[\exists n_0\in\mathbb{N}\quad\forall n\geqslant n_0,\quad \abs{u_n-v_n}\leqslant \epsilon v_n\] Donc, \(\forall n\geqslant n_0\), \[ \begin{alignat*}{1} \sum_{k=0}^n u_k &= \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k + \sum_{k=n_0}^n u_k \\ &\leqslant \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k + (1+\epsilon) \sum_{k=n_0}^n v_k\\ &\leqslant \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k + (1+\epsilon) \sum_{k=0}^{+\infty} v_k \\ \end{alignat*} \] La majoration reste valable pour \(n < n_0\).
Cela montre que la suite des sommes partielles \((S_n)\) est majorée. Comme \(u_n\geqslant0\), la suite \((S_n)\) est aussi croissante donc elle converge, i.e. la série \(\sum_{n\in\mathbb{N}}u_n\) converge.
Par symétrie on a aussi \[\sum_{n\in\mathbb{N}}u_n\text{ converge }\Rightarrow \sum_{n\in\mathbb{N}}v_n \text{ converge }\]
Supposons que les séries divergent. Dans ce cas les suites des sommes partielles ne sont pas majorées et \[\lim_{n\to +\infty} S_n =\lim_{n\to +\infty} T_n = + \infty\]
Pour \(n\geqslant n_0\), \[ \begin{alignat*}{1} \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k + (1-\epsilon) \sum_{k=n_0}^n v_k &\leqslant \sum_{k=0}^n u_k \leqslant \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k + (1+\epsilon) \sum_{k=n_0}^n v_k\\ \Leftrightarrow\quad \underbrace{\sum_{k=0}^{n_0-1} u_k -(1-\epsilon) \sum_{k=0}^{n_0-1} v_k}_{=A} + (1-\epsilon) \sum_{k=0}^n v_k&\leqslant \sum_{k=0}^n u_k \leqslant \underbrace{\sum_{k=0}^{n_0-1} u_k - (1+\epsilon) \sum_{k=0}^{n_0-1} v_k}_{=B} + (1+\epsilon) \sum_{k=0}^n v_k\\ \end{alignat*} \]
Les expressions \(A\) et \(B\) sont constantes (ne dépendent pas de \(n\)), donc elles sont négligeables devant \(T_n\). On peut donc trouver un entier \(n_1\geqslant n_0\) tel que \(\forall n\geqslant n_1\), \[ \begin{alignat*}{1} -\epsilon \sum_{k=0}^n v_k + (1-\epsilon) \sum_{k=0}^n v_k &\leqslant \sum_{k=0}^n u_k \leqslant \epsilon \sum_{k=0}^n v_k + (1+\epsilon) \sum_{k=0}^n v_k\\ \Leftrightarrow\quad (1-2\epsilon) \sum_{k=0}^n v_k &\leqslant \sum_{k=0}^n u_k \leqslant (1+2\epsilon) \sum_{k=0}^n v_k\\ \end{alignat*} \] Ce qui montre \(S_n\sim T_n\).
Si maintenant les séries convergent le raisonnement précédent n'est plus valable par contre on peut écrire pour \(n\geqslant n_0\), en sommant les relations entre \(u_n\) et \(v_n\) jusqu'à l'infini, \[\begin{alignat*}{1} (1-\epsilon) \sum_{k=n}^{+\infty} v_k &\leqslant \sum_{k=n}^{+\infty} u_k \leqslant (1+\epsilon) \sum_{k=n}^{+\infty} v_k\\ \end{alignat*} \] ce qui montre que les restes des séries sont équivalents.
Une série numérique est une suite, la suite des sommes partielles \((S_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
Inversemment, on a tendance à moins y penser mais une suite quelconque peut toujours s'écrire comme une série: \[ u_n = \sum_{k=1}^n (u_k-u_{k-1}) + u_0 \] Cette série a même nature que la suite \((u_n)\). Si \(u_n\to l\), on peut aussi écrire la suite comme un reste de série convergente: \[ -u_n = \sum_{k=n}^{+\infty} (u_{k+1} - u_k) -l \]
On peut ainsi souvent appliquer le théorème d'équivalence des sommes partielles / restes à une suite quand on en cherche un équivalent:
- Si \(u_n\to l\), on essaiera d'appliquer l'équivalence des restes.
- Si \(u_n \to \infty \), on essaiera d'appliquer l'équivalence des sommes partielles