Concours Centrale Supelec: mathématiques 1 PC
Le sujet était assez dense, avec beaucoup de questions (35 contre par exemple 24 contre le sujet Mines-Ponts 1); toutefois il y a beaucoup de questions relativement simples, ou assorties d'une indication généreuse.
Le sujet portait sur principalement sur le rayon spectral des matrices et proposait une démonstration du théorème de Perron-Frobenius, dans le cas de certaines matrices symétriques positives.
Les matrices étudiées sont positives dans le sens \[\forall (i,j)\in \lBrack 1,n\rBrack^2,\quad A_{ij} \geqslant 0 \], et non pas de le sens de la positivité de la forme quadratique \(\ X^TAX\)
Les résultats démontrés s'étendent aux matrices \(A>0\) (non nécéssairement symétriques):
- \(\mathrm{sp}(A)=\lambda\)>0 est une valeur propre de \(A\), associée à une vecteur propre \(X>0\)
- \(\mathrm{dim}(\ker(A-\lambda I_n))=1\)
- \(\lambda\) est dominante: toute autre valeur propre \(\mu\) de \(A\) dans \(\mathbb{C}\) vérifie \(\lvert\mu\rvert<\lambda\).
Le théorème de Perron-Frobenius a de nombreuses applications en ingénierie et en économie, parmi lesquelles l'algorithme PageRank du moteur de recherche Google.
Un corrigé complet de l'épreuve de maths 1 posée le 9 Mai en PC concours Centrale Supelec 2023:
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