Concours X 25: mathématiques B MP.
Dans cet article vous trouverez une proposition de corrigé du sujet B du concours de l'École Polytechnique 2025.
Dans la première partie, il s'agit d'étudier l'existence et l'unicité, ainsi que certaines propriétés d'un polynôme osculateur de degré minimal.
On se donne une fonction \(f\in\mathcal{C}^{\infty}([a,b])\) et on cherche un polynôme qui coïncide avec la fonction et certaines de ses dérivées successives en les points \(t_1,t_2,\dots,t_m\).
Dans la deuxième partie, on se transporte dans \(\mathbb{R}_n[X]\) muni du produit scalaire \[ \begin{alignat*}{1} \langle P,Q\rangle &= \int_{-1}^1 P(x)Q(x)f(x)\mathrm{d}x \end{alignat*} \] où \[ \begin{alignat*}{1} f:[-1,1]&\to\mathbb{R}^{+*}\\ \end{alignat*} \] une fonction continue.
On y construit une suite de polynômes dont les coordonnées dans la base orthogonale obtenue en appliquant le procédé de Schmidt à la base canonique \(1,X,X^2,\dots,X^n\) sont des réels strictement positifs.
Dans la troisième partie, on fait le dévelopement en série entière de \[ \begin{alignat*}{1} r&\mapsto F_{\lambda}(x,r)=(1-2rx+r^2)^{-\lambda}\\ \end{alignat*} \]
On obtient \[ \begin{alignat*}{1} F_{\lambda}(x,r)&=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(x)r^n\\ \end{alignat*} \] où les $a_n$ sont des polynômes qui forment une base orthogonale de \(\mathbb{R}[X]\) muni du produit scalaire: \[ \begin{alignat*}{1} \langle P,Q\rangle &= \int_{-1}^1 P(x)Q(x)(1-x^2)^{\lambda-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x \end{alignat*} \]
Dans la dernière partie, paradoxalement peut-être la plus accessible, on introduit la notion de fonction de type positif en dimension \(N\): \(\forall k\in \mathbb{N}^*\), pour un choix quelconque de \(k\) vecteurs unitaires de \(\mathbb{R}^N\), la matrice symétrique \(M\in\mathcal{M}_k(\mathbb{R})\) définie par \[ \begin{alignat*}{1} \forall (i,j) \in \lBrack 1,k \rBrack^{2},\quad m_{ij} &= f(x_i\cdot x_j) \end{alignat*} \] est semi-définie positive.
On utilise certains résultats obtenus dans les trois premières parties.
Le sujet me parait très difficile, avec des questions à la limite de l'infaisable dès le début du problème.
Correction du sujet MP B posé le 15 Avril au concours X 2025:
Retrouvez le sujet ici: