Dans cet exercice sur les normes euclidiennes, on avait besoin du fait que l'ensemble des matrices à déterminant \(>0\) est connexe. C'est l'occasion de rappeller la démonstration: Lemme: Soit \(GL_n^+(\mathbb{R})=\{M\in M_n(\mathbb{R}),\det M >0\}\) et \…

Un sujet d'analyse-algèbre qui commence très tranquillement sur les 8 premières questions, puis qui propose des suites de fonctions à valeurs dans \(R_n[X]\) dont les coefficients sont des sommes de séries entières. Beaucoup d'algèbre dans la dernière partie. …

Un sujet d'algèbre difficile, exigeant et très long, qui étudie le corps des quaternions \(\mathbb{H}\): représentation matricielle, descriptions des endomorphismes orthogonaux directs, des automorphismes. Beaucoup de sujets qui sont abordés plus rarement dan…

Un sujet analyse-algèbre qui étudie les conditions de stabilité de l'équation différentielle suivante \[ \left\{ \begin{array}{ll} y'=\varphi(y)& \\ y(0)=x_0& \end{array} \right. \] ou \(\varphi\) est une …

Un sujet d'analyse assez intéressant qui étudie la fonction de Wallis: \[ \begin{alignat*}{1} f:]-1,+\infty[&\to\mathbb{R}^{+*}\\ x&\mapsto \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin t)^x \mathrm{d} t \end{alignat*} \] …